בגרות 471: שאלות 4–6גיאומטריה 471 · שיעור 28

גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות

שיעור 28: בגרות 471: שאלות 4–6

פרק 11 · שאלות בגרות

1חורף 2023 · שאלה 5 – מעגל ומקבילית

2קיץ 2024 מועד א · שאלה 5 – מעגל, משיק ודמיון

3חורף 2024 · שאלה 5 – מעגל ומשיק: דלתון

בגרות 471 · חורף 2023 · שאלה 5 · סעיף א

מעגל שמרכזו M משיק לציר ה־x ב־E וחותך את ציר ה־y ב־B ו־C. A על המשך ME
א. (1) הסבירו מדוע MA ∥ ציר ה־y (2) הוכיחו: ∢CBM = ∢BMA

ME ⊥ ציר ה־x

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

ציר ה־y ⊥ ציר ה־x ← ME ∥ ציר ה־y

שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים

A על המשך ME ← MA ∥ BC (ציר ה־y)

BC על ציר ה־y

∢CBM = ∢BMA

זוויות מתחלפות בין המקבילים BC ו־MA (חותך BM)

✅ פתרון סופי: MA ∥ ציר ה־y , ∢CBM = ∢BMA

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט

שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות

בגרות 471 · חורף 2023 · שאלה 5 · סעיף ב

נתון: AB שווה לרדיוס המעגל
ב. (1) הוכיחו: ∢CMB = ∢MBA (2) הוכיחו: ABCM מקבילית

MB = MC ← ∢MCB = ∢MBC

רדיוסים; זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים

AB = MB ← ∢BAM = ∢BMA

נתון; זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים

∢MBC = ∢BMA

סעיף א

∢CMB = 180 − 2∢MBC

סכום הזוויות במשולש MBC

∢MBA = 180 − 2∢BMA

סכום הזוויות במשולש ABM

∢CMB = ∢MBA

מציבים ∢MBC = ∢BMA

MC ∥ BA

זוויות מתחלפות שוות (חותך MB) ← מקבילים

MA ∥ BC ← ABCM מקבילית

סעיף א; שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות

✅ פתרון סופי: ∢CMB = ∢MBA , ABCM מקבילית

📐 הגדרה

מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים

OA = OB = R

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

AB = AC ⟹ ∢B = ∢C

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 משפט הפוך

אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים

📐 הגדרה

מקבילית: מרובע ששתי הצלעות הנגדיות בו מקבילות (שני זוגות)

בגרות 471 · חורף 2023 · שאלה 5 · סעיף ג

נתון: M(3 , 5)
ג. (1) משוואת המעגל (2) שיעורי B ו־C (3) שיעורי A

R = ME = 5 ← (x − 3)² + (y − 5)² = 25

המעגל משיק לציר ה־x: הרדיוס הוא המרחק של M מהציר; משוואת מעגל

9 + (y − 5)² = 25 ⟹ (y − 5)² = 16

מציבים x = 0 (ציר ה־y)

y = 9 או y = 1 ← C(0 , 9) , B(0 , 1)

שורש; לפי הסרטוט C למעלה

A(3 , a): (3 − 0)² + (a − 1)² = 25

A על הישר x = 3 ו־AB = 5

(a − 1)² = 16 ⟹ a = 5 או a = −3

מעבירים אגפים ושורש

a = 5 זו M עצמה ← A(3 , −3)

A מתחת ל־E

✅ פתרון סופי: (x − 3)² + (y − 5)² = 25 , B(0 , 1) , C(0 , 9) , A(3 , −3)

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 נוסחה

משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R

(x − a)² + (y − b)² = R²

📐 כלל

נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה

📐 כלל

שורש: אורך תמיד חיובי

x² = 36 ⟹ x = 6

📐 נוסחה

מרחק בין שתי נקודות

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

בגרות 471 · חורף 2023 · שאלה 5 · סעיף ד

ד. חשבו את שטח המקבילית ABCM

BC = 9 − 1 = 8

הבסיס על ציר ה־y

h = 3

הגובה: המרחק בין ציר ה־y לישר MA (x = 3)

S = 8 · 3 = 24

שטח מקבילית

✅ פתרון סופי: שטח המקבילית 24

📐 נוסחה

שטח מקבילית: צלע כפול הגובה אליה

S = a · h

בגרות 471 · קיץ 2024 מועד א · שאלה 5 · סעיף א

AB קוטר במעגל שמרכזו M. CD משיק למעגל ב־A , ו־AM חוצה את ∢CMD
א. הוכיחו: △CMD שווה שוקיים

∢MAC = ∢MAD = 90

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

∢CMA = ∢DMA

AM חוצה זווית (נתון)

MA צלע משותפת

צלע משותפת

△CMA ≅ △DMA

ז.צ.ז

MC = MD ← △CMD שווה שוקיים

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

✅ פתרון סופי: △CMD שווה שוקיים

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 הגדרה

חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות

📐 כלל

צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה

📐 משפט חפיפה

ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן

📐 כלל

במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות

בגרות 471 · קיץ 2024 מועד א · שאלה 5 · סעיף ב

משוואת המעגל: (x + 3)² + (y − 8)² = 45 , ושיעור ה־y של B גדול מ־8
ב. מצאו את שיעורי B ו־A

M(−3 , 8) , R² = 45

משוואת מעגל

9 + (y − 8)² = 45 ⟹ (y − 8)² = 36

מציבים x = 0 (B על ציר ה־y)

y = 14 או y = 2 ← B(0 , 14)

שורש; נתון y > 8

−3 = (x_A + 0) : 2 ⟹ x_A = −6

M אמצע הקוטר AB

8 = (y_A + 14) : 2 ⟹ y_A = 2 ← A(−6 , 2)

אמצע קטע

✅ פתרון סופי: B(0 , 14) , A(−6 , 2)

📐 נוסחה

משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R

(x − a)² + (y − b)² = R²

📐 כלל

נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה

📐 כלל

שורש: אורך תמיד חיובי

x² = 36 ⟹ x = 6

📐 נוסחה

אמצע קטע

x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2

בגרות 471 · קיץ 2024 מועד א · שאלה 5 · סעיף ג

נתון: CM מקביל לציר ה־x
ג. מצאו את שיעורי C

m_MA = (2 − 8) : (−6 + 3) = 2

שיפוע

m_CD · 2 = −1 ⟹ m_CD = −½

משיק מאונך לרדיוס; ישרים מאונכים

y − 2 = −½(x + 6) ⟹ y = −0.5x − 1

משוואת ישר דרך A

CM ∥ ציר ה־x ← y_C = 8

לנקודות על ישר מקביל לציר ה־x אותו y

8 = −0.5x − 1 ⟹ x = −18 ← C(−18 , 8)

מציבים y = 8 במשוואת CD

✅ פתרון סופי: C(−18 , 8)

📐 נוסחה

שיפוע ישר דרך שתי נקודות

m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1

m₁ · m₂ = −1

📐 נוסחה

משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

y − y₁ = m(x − x₁)

📐 כלל

נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה

בגרות 471 · קיץ 2024 מועד א · שאלה 5 · סעיף ד

E אמצע CM , F אמצע DM
ד. (1) הוכיחו: △CMD ∼ △EMF (2) חשבו את יחס השטחים

ME : MC = MF : MD = 1 : 2

E ו־F אמצעי הקטעים

∢EMF = ∢CMD

זווית משותפת

△CMD ∼ △EMF

צ.ז.צ

k = MC : ME = 2

יחס הדמיון

S(CMD) : S(EMF) = 2² = 4

יחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון

✅ פתרון סופי: △CMD ∼ △EMF , יחס השטחים 4 : 1

📐 כלל

צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה

📐 משפט דמיון

צ.ז.צ: שתי צלעות באותו יחס והזווית שביניהן שווה ← המשולשים דומים

📐 כלל

במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)

AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

📐 משפט

במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

S₁ : S₂ = k²

בגרות 471 · חורף 2024 · שאלה 5 · סעיף א

מרכז המעגל M על החלק החיובי של ציר ה־y; המעגל משיק לציר ה־x. המשיק ב־D: 4x + 3y = 40 , חותך את הצירים ב־B וב־A
א. מצאו את אורך AB

x = 0: 3y = 40 ⟹ y = 40/3 ← A(0 , 40/3)

A על ציר ה־y

y = 0: 4x = 40 ⟹ x = 10 ← B(10 , 0)

B על ציר ה־x

AB = √(10² + (40/3)²) = √(100 + 1600/9)

מרחק בין שתי נקודות

AB = √(2500/9) = 50/3 ≈ 16.67

מחשבים

✅ פתרון סופי: AB = 50/3

📐 כלל

נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה

📐 נוסחה

מרחק בין שתי נקודות

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

בגרות 471 · חורף 2024 · שאלה 5 · סעיף ב

ב. הוכיחו כי המרובע OMDB הוא דלתון

MO = MD

רדיוסים (המעגל משיק לציר ה־x בראשית O)

BO = BD

שני משיקים מהנקודה B (ציר ה־x והישר AB)

OMDB דלתון

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

✅ פתרון סופי: OMDB דלתון

📐 הגדרה

מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים

OA = OB = R

📐 משפט

שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים

📐 הגדרה

דלתון: מרובע עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

בגרות 471 · חורף 2024 · שאלה 5 · סעיף ג

ג. (1) הוכיחו: △ADM ∼ △AOB (2) מצאו את רדיוס המעגל

∢A משותפת

זווית משותפת

∢ADM = 90

משיק מאונך לרדיוס

∢AOB = 90 ← △ADM ∼ △AOB

הזווית בין הצירים; ז.ז

M(0 , R) , MD = R , AM = 40/3 − R

מסמנים את הרדיוס R

AM : AB = MD : OB

צלעות מתאימות באותו יחס

(40/3 − R) : (50/3) = R : 10

מציבים

10(40/3 − R) = (50/3)R ⟹ 400 − 30R = 50R

כפל בהצלבה, ואז כופלים ב־3

80R = 400 ⟹ R = 5

מעבירים אגפים ומחלקים ב־80

✅ פתרון סופי: △ADM ∼ △AOB , R = 5

📐 כלל

צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט דמיון

ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים

📐 כלל

במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)

AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

פרופורציה: כפל בהצלבה

a/b = c/d ⟹ a·d = b·c

📐 כלל

כופלים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

בגרות 471 · חורף 2024 · שאלה 5 · סעיף ד

ד. מצאו את משוואת המעגל

M(0 , 5) , R = 5

סעיף ג

x² + (y − 5)² = 25

משוואת מעגל

✅ פתרון סופי: x² + (y − 5)² = 25

📐 נוסחה

משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R

(x − a)² + (y − b)² = R²

בגרות 471 · חורף 2024 · שאלה 5 · סעיף ה

ה. האם הדלתון OMDB בר חסימה במעגל? אם כן – מצאו את מרכז המעגל החוסם

∢MOB = 90 , ∢MDB = 90

בין הצירים; משיק מאונך לרדיוס

∢O + ∢D = 180 ← OMDB בר חסימה

סכום זוג זוויות נגדיות 180

∢MOB = 90 נשענת על MB ← MB קוטר

זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר

המרכז: ((0 + 10) : 2 , (5 + 0) : 2) = (5 , 2.5)

אמצע הקוטר MB

✅ פתרון סופי: כן, מרכז המעגל החוסם (5 , 2.5)

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט הפוך

אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות 180 מעלות ← אפשר לחסום אותו במעגל

📐 משפט הפוך

זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר

📐 נוסחה

אמצע קטע

x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2

📌 מה למדנו היום

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט

שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים

📐 משפט דמיון

צ.ז.צ: שתי צלעות באותו יחס והזווית שביניהן שווה ← המשולשים דומים

📐 משפט הפוך

אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות 180 מעלות ← אפשר לחסום אותו במעגל

💡 משיק לציר ← הרדיוס הוא המרחק מהציר. שני משיקים מנקודה ← דלתון.

בשיעור הבא: עוד שתי שאלות בגרות

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא